Cho khối tứ diện có thể tích bằng bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V′/V

(Đề Tham Khảo – 2017) Cho khối tứ diện có thể tích bằng bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số \( \frac{V’}{V} \).

A. \( \frac{V’}{V}=\frac{1}{2} \)

B.  \( \frac{V’}{V}=\frac{1}{4} \)             

C.  \( \frac{V’}{V}=\frac{2}{3} \)               

D.  \( \frac{V’}{V}=\frac{5}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1. Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện đều cạnh a. Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc của tụ điện, mỗi góc cũng là một tụ điện đều có cạnh bằng  \( \frac{a}{2} \).

Do đó, thể tích phần cắt bỏ là:   \( {V”}=4.\frac{V}{8}=\frac{V}{2} \).

(Vì với tứ diện cạnh giảm nửa thì thể tích giảm  \( {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8} \))

Vậy  \( {V}’=\frac{V}{2}\Leftrightarrow \frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{2} \).

Cách 2. Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có cùng đáy là hình bình hành úp lại.

Suy ra:  \( {V}’=2{{V}_{N.MEPF}}=4.{{V}_{N.MEP}} \) \( =4.{{V}_{P.MNE}}=4.\frac{1}{2}.\frac{1}{4}V=\frac{1}{2}V \)

(Do chiều cao giảm một nửa, cạnh đáy giảm một nửa nên diện tích giảm 4)

Cách 3. Ta có:  \( \frac{{{V}’}}{V}=\frac{V-{{V}_{A.QEP}}-{{V}_{B.QMF}}-{{V}_{C.MNE}}-{{V}_{D.NPF}}}{V} \)

 \( =1-\frac{{{V}_{A.QEP}}}{V}-\frac{{{V}_{B.QMF}}}{V}-\frac{{{V}_{C.MNE}}}{V}-\frac{{{V}_{D.NPF}}}{V} \) \( =1-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *