Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có A′B=a√6, đường thẳng A’B vuông góc với đường thẳng B’C

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Dựng hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi đó tứ giác ABCD là hình thoi.

Đặt  \( AB=x\Rightarrow AD=x  \)

Tam giác ABD có góc  \( \widehat{BAD}={{120}^{0}} \), áp dụng định lí cosin, ta có:

 \( B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AB.AD.\cos BAD={{x}^{2}}+{{x}^{2}}-2x.x.\cos {{120}^{0}}=3{{x}^{2}} \)

Ta có:  \( A’B=a\sqrt{6}\Rightarrow A’D=a\sqrt{6} \)

Ta có: A’D // B’C  \( \Rightarrow A’B\bot A’D  \) \( \Rightarrow \Delta A’BD \)  vuông tại A’

 \( \Rightarrow B{{D}^{2}}=A'{{B}^{2}}+A'{{D}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=12{{a}^{2}} \) \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow x=2a  \)

Chiều cao hình trụ: \(AA{{‘}^{2}}=A'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}=6{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\)\(\Rightarrow AA’=a\sqrt{2}\)

 \( \Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{1}{3}AA’.{{S}_{\Delta ABC}} \) \( =\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\frac{1}{2}.2a.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}{{a}^{3}} \)