Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có A′B=a√6, đường thẳng A’B vuông góc với đường thẳng B’C

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có \( A’B=a\sqrt{6} \), đường thẳng A’B vuông góc với đường thẳng B’C. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a.

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3} \)

B.  \( {{a}^{3}}\sqrt{6} \)       

C.  \( \frac{3{{a}^{3}}}{4} \)                                  

D.  \( \frac{9{{a}^{3}}}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Dựng hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi đó tứ giác ABCD là hình thoi.

Đặt  \( AB=x\Rightarrow AD=x  \)

Tam giác ABD có góc  \( \widehat{BAD}={{120}^{0}} \), áp dụng định lí cosin, ta có:

 \( B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AB.AD.\cos BAD={{x}^{2}}+{{x}^{2}}-2x.x.\cos {{120}^{0}}=3{{x}^{2}} \)

Ta có:  \( A’B=a\sqrt{6}\Rightarrow A’D=a\sqrt{6} \)

Ta có: A’D // B’C  \( \Rightarrow A’B\bot A’D  \) \( \Rightarrow \Delta A’BD \)  vuông tại A’

 \( \Rightarrow B{{D}^{2}}=A'{{B}^{2}}+A'{{D}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=12{{a}^{2}} \) \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow x=2a  \)

Chiều cao hình trụ: \(AA{{‘}^{2}}=A'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}=6{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\)\(\Rightarrow AA’=a\sqrt{2}\)

 \( \Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{1}{3}AA’.{{S}_{\Delta ABC}} \) \( =\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\frac{1}{2}.2a.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}{{a}^{3}} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *