Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, BACˆ=1200, biết SA⊥(ABC) và mặt phẳng (SBC) hợp với đáy một góc 45O

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi I là trung điểm BC.

+ Do  \( \Delta ABC  \) cân tại A nên BC\bot AI.

+ Mặt khác do  \( SA\bot (ABC)\Rightarrow BC\bot SA  \) suy ra  \( BC\bot SI  \).

Do đó góc giữa (SBC) và đáy chính là góc  \( \widehat{SIA}={{45}^{0}} \).

Xét  \( \Delta AIB  \) vuông tại I có IB = a,  \( \widehat{IAB}={{60}^{0}} \), suy ra  \( IA=\frac{IB}{\tan {{60}^{0}}}=\frac{a}{\sqrt{3}} \).

 \( \Delta SAI  \) vuộng tại A có  \( IA=\frac{a}{\sqrt{3}} \),  \( \widehat{SIA}={{45}^{0}} \) nên  \( \Delta SAI  \) vuông cân tại A, do đó:  \( SA=IA=\frac{\sqrt{3}}{3}a \)

Thể tích của khối chóp S.ABC là  \( V=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.BC.AI.SA=\frac{1}{9}{{a}^{3}} \)