Hướng dẫn giải:

Chọn D

Lấy 2 điểm M, N lần lượt nằm trên đường tròn tâm O sao cho  \( MN=6a \).

Từ M, N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với trục OO’, cắt đường tròn tâm O’ tại Q, P.

Thiết diện ta thu được là hình vuông MNPQ có cạnh bằng 6a.

Gọi H là trung điểm của PQ. Suy ra  \( OH\bot PQ \).

Vì  \( OO’\parallel (MNPQ) \) nên ta có  \( d\left( OO’,(MNPQ) \right)=d\left( O’,(MNPQ) \right)=O’H \).

Từ giả thiết, ta có  \( O’H=3a \). Do đó  \( \Delta O’HP \) là tam giác vuông cận tại H.

Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là  \( O’P=\sqrt{O'{{H}^{2}}+H{{P}^{2}}}=3a\sqrt{2} \).

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là  \( V=6a.\pi .{{\left( 3a\sqrt{2} \right)}^{2}}=108\pi {{a}^{3}} \).