Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao 3–√R. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục d của hình trụ bằng 30∘

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi I,J là tâm của hai đáy (hình vẽ).

Từ B kẻ đường thẳng song song với trục d của hình trụ, cắt đường tròn đáy kia tại C.

Khi đó,  \( \left( AB,d \right)=\left( AB,BC \right)=\widehat{ABC}=30{}^\circ  \).

Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

 \( \tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{CB}\Rightarrow AC=CB.\tan \widehat{ABC}=R\sqrt{3}.\tan 30{}^\circ =R\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}=R \).

Lại có \(d\parallel (ABC)\) và \(AB\subset (ABC)\) nên \( d\left( d,AB \right)=d\left( d,(ABC) \right)=d\left( J,(ABC) \right) \).

Kẻ  \( JH\bot AC,\,\,H\in AC \). Vì  \( BC\bot JH \) nên  \( JH\bot (ABC) \).

Suy ra  \( d\left( J,(ABC) \right)=JH \).

Xét tam giác JAC, ta thấy  \( JA=JC=AC=R \) nên JAC là tam giác đều cạnh R.

Khi đó chiều cao là  \( JH=\frac{R\sqrt{3}}{2} \).

Vậy  \( d\left( d,AB \right)=\frac{R\sqrt{3}}{2} \).