Cho hình thang ABCD ( AB∥CD, AB<CD). M, N trên AB và CD sao cho AMMB=DNNC, P và Q trên MN sao cho DPCˆ=ABCˆ và AQBˆ=BCDˆ. Chứng minh rằng P, Q, B, C nằm trên một đường tròn

Cho hình thang ABCD ( \( AB\parallel CD,\text{ }AB<CD \)). M, N trên AB và CD sao cho  \( \frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC} \), P và Q trên MN sao cho \(\widehat{DPC}=\widehat{ABC}\) và  \( \widehat{AQB}=\widehat{BCD} \). Chứng minh rằng P, Q, B, C nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Gọi E là giao điểm AQ và DP, và F là giao điểm BQ và CP \(\Rightarrow \widehat{EPF}=\widehat{ABC}\) và \(\widehat{FQE}=\widehat{BCD}\).

Ta có:  \( \widehat{ABC}+\widehat{BCD}={{180}^{O}}\Rightarrow PFQE \) là tứ giác nội tiếp.

Áp dụng định lí Menelaus đối với  \( \Delta DOP \) với đường thẳng AQ và  \( \Delta COP \) với đường thẳng BQ:

 \( \frac{AD}{AO}.\frac{QO}{QP}.\frac{EP}{ED}=1 \) và  \( \frac{BC}{BO}.\frac{QO}{QP}.\frac{FP}{FC}=1 \) \( \Rightarrow \frac{AD}{AO}.\frac{QO}{QP}.\frac{EP}{ED}=\frac{BC}{BO}.\frac{QO}{QP}.\frac{FP}{FC} \).

Do  \( \frac{AD}{AO}=\frac{BC}{BO}\Rightarrow \frac{EP}{ED}=\frac{FP}{FC}\Rightarrow EF\parallel CD\parallel AB \).

 \( \Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ABQ}+\widehat{QBC}=\widehat{EFQ}+\widehat{QBC}=\widehat{EPQ}+\widehat{QBC} \).

 \( \widehat{ABC}=\widehat{DPC}=\widehat{EPQ}+\widehat{QPC}\Rightarrow \widehat{QBC}=\widehat{QPC} \).

 \( \Rightarrow P,Q,C,B \) nằm trên một đường tròn.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *