Cho hình thang ABCD ( \( AB\parallel CD,\text{ }AB<CD \)). M, N trên AB và CD sao cho \( \frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC} \), P và Q trên MN sao cho \(\widehat{DPC}=\widehat{ABC}\) và \( \widehat{AQB}=\widehat{BCD} \). Chứng minh rằng P, Q, B, C nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Gọi E là giao điểm AQ và DP, và F là giao điểm BQ và CP \(\Rightarrow \widehat{EPF}=\widehat{ABC}\) và \(\widehat{FQE}=\widehat{BCD}\).
Ta có: \( \widehat{ABC}+\widehat{BCD}={{180}^{O}}\Rightarrow PFQE \) là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lí Menelaus đối với \( \Delta DOP \) với đường thẳng AQ và \( \Delta COP \) với đường thẳng BQ:
\( \frac{AD}{AO}.\frac{QO}{QP}.\frac{EP}{ED}=1 \) và \( \frac{BC}{BO}.\frac{QO}{QP}.\frac{FP}{FC}=1 \) \( \Rightarrow \frac{AD}{AO}.\frac{QO}{QP}.\frac{EP}{ED}=\frac{BC}{BO}.\frac{QO}{QP}.\frac{FP}{FC} \).
Do \( \frac{AD}{AO}=\frac{BC}{BO}\Rightarrow \frac{EP}{ED}=\frac{FP}{FC}\Rightarrow EF\parallel CD\parallel AB \).
\( \Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ABQ}+\widehat{QBC}=\widehat{EFQ}+\widehat{QBC}=\widehat{EPQ}+\widehat{QBC} \).
\( \widehat{ABC}=\widehat{DPC}=\widehat{EPQ}+\widehat{QPC}\Rightarrow \widehat{QBC}=\widehat{QPC} \).
\( \Rightarrow P,Q,C,B \) nằm trên một đường tròn.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!