Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến (SAB) bằng a√3/3 và SAOˆ=300, SABˆ=60O. Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi K là trung điểm của AB ta có:  \( OK\bot AB  \) vì tam giác OAB cân tại O.

Mà  \( SO\bot AB  \) nên  \( AB\bot \left( SOK \right) \)  \( \Rightarrow \left( SOK \right)\bot \left( SAB \right) \) mà  \( \left( SOK \right)\cap \left( SAB \right)=SK  \) nên từ O dựng  \( OH\bot SK  \) thì  \( OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH={{d}_{\left( O,(SAB) \right)}} \)

Xét tam giác SAO, ta có:  \( \sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA} \)  \( \Rightarrow SO=\frac{SA}{2} \)

Xét  \( \Delta SAB  \), ta có:  \( \sin \widehat{SAB}=\frac{SK}{SA}\Rightarrow SK=\frac{SA\sqrt{3}}{2} \)

Xét  \( \Delta SOK  \), ta có: \(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{K}^{2}}}+\frac{1}{O{{S}^{2}}}=\frac{1}{S{{K}^{2}}-S{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\)

 \( \Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{\frac{S{{A}^{2}}}{4}}+\frac{1}{\frac{3S{{A}^{2}}}{4}-\frac{S{{A}^{2}}}{4}}=\frac{4}{S{{A}^{2}}}+\frac{2}{S{{A}^{2}}} \)

 \( \Rightarrow \frac{6}{S{{A}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=2{{a}^{2}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2} \)