Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi I là trung điểm của AC’.

Ta có:  \( \Delta ABC’ \) vuông tại B (vì  \( AB\bot \left( BB’C’C \right) \)) và  \( \Delta AB’C’ \) vuông tại B’ (vì  \( B’C’\bot \left( ABB’A’ \right) \)).

Khi đó IA = IB = IB’ = IC’, suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’.

 \( AC’=\sqrt{A{{{{B}’}}^{2}}+{B}'{{{{C}’}}^{2}}}=\sqrt{A{{{{B}’}}^{2}}+B{{{{B}’}}^{2}}+{B}'{{{{C}’}}^{2}}}=a\sqrt{3} \)

Vậy  \( R=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Cách khác: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ cũng là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Bán kính mặt cầu là nửa đường chéo hình lập phương cạnh a, tức là bằng  \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).