Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm của BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’.

Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & OO’=AA’=BB’=2a \\ & OO’\bot (ABC);OO’\bot (A’B’C’) \\ & BC=B’C’=a \\ \end{align} \right. \)

Như vậy OO’ là trục đường tròn ngoại tiếp 2 mặt đáy.

 \( \Rightarrow  \) tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ nằm trên OO’

Trong mặt phẳng (OBB’O’), từ trung điểm H của MB’, kẻ đường thẳng vuông góc MB’ cắt OO’ tại I.

Suy ra IA’ = IC’ = IB’ = IM  \( \Rightarrow  \) khối chóp M.A’B’C’ nội tiếp mặt cầu tâm I, bán kính R = IB’.

Gọi N là trung điểm của A’C’.

Dễ dàng chứng minh được HIO’B’ là hình chữ nhật.

Suy ra: \(IB’=\sqrt{I{{{{O}’}}^{2}}+{B}'{{{{O}’}}^{2}}}=\sqrt{H{{{{B}’}}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3}{B}’N \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{B{B}’}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3}.\frac{BC\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\)

 \( \Rightarrow IB’=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6} \)