Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a√3, BC = 2a, đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc 30O (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Kẻ AH  \( \bot  \) BC (H  \( \in  \) BC) thì AH  \( \bot  \) (BCC’B’) (vì (ABC) và (BCC’B’) vuông góc với nhau theo giao tuyến BC).

Suy ra  \( \widehat{AC’H}={{30}^{O}} \)

 \( \Delta ABC  \) vuông tại A có đường cao AH nên  \( AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a  \) và  \( AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

 \( \Delta AHC’ \) vuông tại H  \( \Rightarrow AC’=\frac{AH}{\sin {{30}^{O}}}=a\sqrt{3} \). Suy ra  \( AA’=\sqrt{A{{{{C}’}}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2} \).

Ta có thể xem hình lăng trụ đã cho là một phần của hình hộp chữ nhật có các kích thước lần lượt là  \( AB=a\sqrt{3} \), AC = a và  \( A’A=a\sqrt{2} \).

Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là  \( R=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2} \).

Diện tích mặt cầu cần tìm là:  \( S=4\pi {{R}^{2}}=6\pi {{a}^{2}} \)