Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC’) bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC’) và (BCC’B’) bằng α với cosα=1/2√3

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC’) bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC’) và (BCC’B’) bằng \( \alpha  \) với  \( \cos \alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}} \). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. \( V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4} \)

B.  \( V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2} \)                         

C.  \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2} \)                           

D.  \( V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Do  \( \left\{ \begin{align}& AB\bot CC’ \\ & AB\bot CM \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (MCC’) \) \( \Rightarrow (ABC’)\bot (MCC’) \)

Kẻ CK vuông góc với CM tại K thì ta được CK \( \bot \) (ABC’), do đó: \(CK={{d}_{\left( C,(ABC’) \right)}}=a\).

Đặt BC = x, CC’ = y (x > 0, y > 0), ta được:  \( CM=\frac{x\sqrt{3}}{2} \)

 \( \frac{1}{C{{M}^{2}}}+\frac{1}{CC{{‘}^{2}}}=\frac{1}{C{{K}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{4}{3{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}} \) (1)

Kẻ CE \( \bot \) BC’ tại E, ta được \(\widehat{KEC}=\alpha \)\(\Rightarrow EC=\frac{KC}{\sin \alpha }=\frac{a}{\sqrt{1-\frac{1}{12}}}=a\sqrt{\frac{12}{11}}\)

Lại có:  \( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{C{{E}^{2}}}=\frac{11}{12{{a}^{2}}} \) (2).

Giải (1), (2) ta được: \( \left\{ \begin{align} & x=2a \\ & y=\frac{a\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} \right. \)

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

 \( V=y.\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *