Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC’) bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC’) và (BCC’B’) bằng \( \alpha \) với \( \cos \alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}} \). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A. \( V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4} \)
B. \( V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2} \)
C. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2} \)
D. \( V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
Do \( \left\{ \begin{align}& AB\bot CC’ \\ & AB\bot CM \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (MCC’) \) \( \Rightarrow (ABC’)\bot (MCC’) \)
Kẻ CK vuông góc với CM tại K thì ta được CK \( \bot \) (ABC’), do đó: \(CK={{d}_{\left( C,(ABC’) \right)}}=a\).
Đặt BC = x, CC’ = y (x > 0, y > 0), ta được: \( CM=\frac{x\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{1}{C{{M}^{2}}}+\frac{1}{CC{{‘}^{2}}}=\frac{1}{C{{K}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{4}{3{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}} \) (1)
Kẻ CE \( \bot \) BC’ tại E, ta được \(\widehat{KEC}=\alpha \)\(\Rightarrow EC=\frac{KC}{\sin \alpha }=\frac{a}{\sqrt{1-\frac{1}{12}}}=a\sqrt{\frac{12}{11}}\)
Lại có: \( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{C{{E}^{2}}}=\frac{11}{12{{a}^{2}}} \) (2).
Giải (1), (2) ta được: \( \left\{ \begin{align} & x=2a \\ & y=\frac{a\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} \right. \)
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
\( V=y.\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2} \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!