Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a, góc tạo bởi (SAB) và (ABC) bằng 60∘ . Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi M là trung điểm AB và gọi O là tâm của tam giác ABC ta có:

 \( \left\{ \begin{align}  & AB\bot CM \\  & AB\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (SCM)\Rightarrow AB\bot SM,\,\,AB\bot CM \).

Do đó  \( \left( (SAB),(ABC) \right)=\widehat{SMO}=60{}^\circ \) .

Mặt khác, tam giác ABC đều cạnh a nên  \( CM=\frac{a\sqrt{3}}{2} \). Suy ra  \( OM=\frac{1}{3}CM=\frac{a\sqrt{3}}{6} \).

 \( SO=OM.\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{a}{2} \).

Hình nón đã cho có chiều cao  \( h=SO=\frac{a}{2} \), bán kính đáy  \( R=OA=\frac{a\sqrt{3}}{3} \), độ dài đường sinh  \( \ell =\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6} \).

Diện tích xung quanh hình nón là:  \( {{S}_{xq}}=\pi .R.\ell =\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{21}}{6}=\frac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6} \).