Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45O

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi H là trung điểm AB  \( \Rightarrow SH\bot (ABCD) \).

Xét  \( \Delta BCH  \) vuông tại B, có  \( CH=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{1}{4}{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{17}}{2} \)

Xét  \( \Delta SHC  \) vuông cân tại H, có:  \( SH=\frac{a\sqrt{17}}{2};SC=\frac{a\sqrt{34}}{2} \)

Xét  \( \Delta SAH  \) vuông tại H, có  \( SA=\sqrt{\frac{17{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{3a\sqrt{2}}{2} \),

Xét  \( \Delta ABC  \) vuông tại B, có  \( AC=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5} \) \( \Rightarrow {{S}_{\Delta SAC}}=\frac{\sqrt{89}{{a}^{2}}}{4} \)

Ta có:  \( {{V}_{S.ABCD}}=V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{3} \);  \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{6} \)

\({{V}_{S.ACM}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{12}\)

Mà  \( {{V}_{S.MAC}}=\frac{1}{3}.d.{{S}_{\Delta SAC}}=\frac{\sqrt{89}{{a}^{2}}}{12}.d  \) \( \Rightarrow d=\frac{a\sqrt{1513}}{89} \)