Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3HD. Biết rằng SA=2a√3 và SC tạo với đáy một góc bằng 30O

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( S{{H}^{2}}=HD.HA=3H{{D}^{2}}\Rightarrow SH=\sqrt{3}HD  \)

Có:  \( \left\{ \begin{align}  & \tan \widehat{SDH}=\frac{SH}{DH}=\sqrt{3} \\& \tan \widehat{SDH}=\frac{SA}{SD} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{SA}{SD}=\sqrt{3} \)

 \( \Rightarrow SD=\frac{SA}{\sqrt{3}}=2a\Rightarrow DA=\sqrt{S{{D}^{2}}+S{{A}^{2}}}=4a  \)

 \( DH=\frac{1}{4}DA=a  \)

Tam giác SHC có  \( \tan \widehat{SCH}=\frac{SH}{HC}\Rightarrow \tan {{30}^{0}}=\frac{SH}{HC}\) \( \Rightarrow HC=\frac{SH}{\tan {{30}^{0}}}=3a \) 

Tam giác DHC có \(DC=\sqrt{D{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=2\sqrt{2}a\)

Vậy  \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.AD.DC=\frac{1}{3}.\sqrt{3}a.4a.2\sqrt{2}a=\frac{8\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3} \)