Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) là 30O

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Trong tam giác đều SAD gọi I là trung điểm AD  \( \Rightarrow SI\bot AD\Rightarrow SI\bot (ABCD) \).

Gọi M là trung điểm BC  \( \Rightarrow BC\bot IM  \)     (1)

Mặt khác do  \( SI\bot (ABCD)\Rightarrow BC\bot SI  \)    (2)

Từ (1), (2) suy ra  \( BC\bot SM  \).

Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) chính là góc  \( \widehat{SMI}={{30}^{0}} \).

Xét tam giác vuông SIM có  \( IM=\frac{SI}{\tan {{30}^{0}}}=3a  \) (vì tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a nên  \( SI=a\sqrt{3} \))

Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là  \( V=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SI=\frac{1}{3}AD.BC.SI=2{{a}^{3}}\sqrt{3} \)