Cho hình chóp S.ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, AB=2√10, SBCˆ=900, ASCˆ=1200. Mặt phẳng (P) đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với (SAC) cắt SA tại M

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:

 \( S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}={{6}^{2}}+{{2}^{2}}=40=A{{B}^{2}} \) \( \Rightarrow \widehat{ASB}={{90}^{0}} \)

 \( \Delta SBC  \) vuông tại B  \( \Rightarrow BN=\frac{1}{2}SC=2 \)

 \( \Rightarrow SN=NB=SB=2\Rightarrow \Delta SNB  \) đều.

Gọi D là điểm thuộc cạnh SA sao cho SD = 2, ta có:

 \( D{{B}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8 \)

 \( D{{N}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}-2.2.2.\cos {{120}^{0}}=12 \)

 \( N{{B}^{2}}=4 \)

 \( \Rightarrow D{{B}^{2}}+N{{B}^{2}}=D{{N}^{2}} \) \( \Rightarrow \Delta DNB \)  vuông tại B.

Gọi H, E lần lượt là trung điểm của DN, NB ta có:

+  \( \left\{ \begin{align}& NB\bot SE \\ & NB\bot HE \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow NB\bot (SHE)\Rightarrow NB\bot SH \)

+ \(\left\{ \begin{align}& SH\bot DN \\ & SH\bot NB \\ \end{align} \right.\Rightarrow SH\bot (DNB)\)\(\Rightarrow (SDN)\bot (DNB)\Rightarrow D\equiv M\Rightarrow SM=2\)

 \( \Rightarrow k=\frac{{{V}_{S.BMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SC}=\frac{2}{6}.\frac{2}{4}=\frac{1}{6} \)