Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA⊥(ABC). Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) góc 30O

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi I là trung điểm của BC suy ra góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) là  \( \widehat{SIA}={{30}^{0}} \).

H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra  \( {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}=AH=a  \).

Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra  \( AI=\frac{AH}{\sin {{30}^{0}}}=2a  \).

Giả sữ tam giác đều ABC có cạnh bằng x, mà AI là đường cao suy ra  \( 2a=\frac{\sqrt{3}}{2}x\Leftrightarrow x=\frac{4a}{\sqrt{3}} \).

Diện tích tam giác đều ABC là:  \( {{S}_{\Delta ABC}}={{\left( \frac{4a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3} \).

Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra  \( SA=AI.\tan {{30}^{0}}=\frac{2a}{\sqrt{3}} \).

Vậy  \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{8{{a}^{3}}}{9} \)