Cho hàm số y=x^6+(4+m)x^5+(16−m^2)x^4+2. Gọi S là tập hợp các giá trị m nguyên dương để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {y}’=6{{x}^{5}}+5\left( 4+m \right){{x}^{4}}+14\left( 16-{{m}^{2}} \right){{x}^{3}} \) \( ={{x}^{3}}\left[ 6{{x}^{2}}+5\left( 4+m \right)x+16-{{m}^{2}} \right] \)

\( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{x}^{3}}=0 \\  & g(x)=6{{x}^{2}}+5\left( 4+m \right)x+16-{{m}^{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)

g(x) = 0 có  \( \Delta =\left( 4+m \right)\left( 49m+4 \right) \)

Với mọi m nguyên dương thì  \( \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\ & \frac{-5\left( 4+m \right)}{6}<0 \\ \end{align} \right. \) do đó ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1:  \( 16-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow 0<m<4 \): g(x) = 0 có hai nghiệm âm phân biệt x1, x2 (x1 < x2), ta có bảng xét dấu y’ như sau:

Lúc này x = 0 là điểm cực tiểu.

Trường hợp 2:  \( 16-{{m}^{2}}<0\Leftrightarrow m>4 \): g(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu x1, x2 (x1 < 0 < x2), ta có bảng xét dấu y’ như sau:

Từ đây suy ra x = 0 là điểm cực đại (không thỏa mãn).

Trường hợp 3: g(x) = 0 có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm, lúc này x = 0 là nghiệm bội 4 của đạo hàm nên không phải là điểm cực trị.

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là {1;2;3}. Tổng các phần tử của S = 6.