Cho hàm số y=x^3+3mx^2−m^3 có đồ thị (Cm) và đồ thị d:y=m^2x+2m^3. Biết rằng m1, m2 (m1 > m2) là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn x^41+x^42+x^43=83

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm):  \( {{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-{{m}^{3}}={{m}^{2}}x+2{{m}^{3}} \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+3mx-{{m}^{2}}x-3{{m}^{3}}=0 \) \( \Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}-{{m}^{2}}x \right)+\left( 3m{{x}^{2}}-3{{m}^{3}} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)+3m\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)=0 \) \( \Leftrightarrow \left( x+3m \right)\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-3m \\ & x=m \\  & x=-m \\ \end{align} \right. \)

Để đường thẳng d cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3  \( \Leftrightarrow m\ne 0 \).

Khi đó: \(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=83\) \( \Leftrightarrow {{m}^{4}}+{{(-m)}^{4}}+{{(-3m)}^{4}}=83 \)

 \( \Leftrightarrow 83{{m}^{4}}=83\Leftrightarrow m=\pm 1 \) \( \Rightarrow {{m}_{1}}=1,{{m}_{2}}=-1\Rightarrow {{m}_{1}}+{{m}_{2}}=0 \)