Cho hàm số y=(x+3)/(x+1) có đồ thị (C) và đường thẳng d:y=x−m, với m là tham số thực. Biết rằng đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm G(2;−2) là trọng tâm của tam giác OAB (O là gốc tọa độ)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Hàm số  \( y=\frac{x+3}{x+1} \) có  \( {y}’=-\frac{2}{{{(x+1)}^{2}}}<0,\forall x\in D  \) và đường thẳng  \( d:y=x-m  \) có hệ số  \( a=1>0 \) nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt  \( A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right) \) và  \( B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right) \) với mọi giá trị của tham số m.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:  \( \frac{x+3}{x+1}=x-m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-m-3=0 \)  \( \left( x\ne -1 \right) \)

Suy ra, xA, xB là 2 nghiệm của phương trình  \( {{x}^{2}}-mx-m-3=0 \).

Theo định lí Viet, ta có:  \( {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=m  \).

Mặt khác,  \( G\left( 2;-2 \right) \) là trọng tâm của tam giác OAB nên  \( {{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{O}}=3{{x}_{G}} \).

 \( \Leftrightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=6\Leftrightarrow m=6 \)

Vậy m = 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán.