Cho hàm số y=x^3−(m+6)x^2+(2m+9)x−2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

 \( {y}’=3{{x}^{2}}-2\left( m+6 \right)x+2m+9 \)

 \( {y}’=3{{x}^{2}}-2\left( m+6 \right)x+2m+9=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\  & x=\frac{2m+9}{3} \\ \end{align} \right. \)

Hàm số có 2 cực trị  \( \Leftrightarrow \frac{2m+9}{3}\ne 1\Leftrightarrow m\ne -3 \)  (1)

 \( y(1)=m+2 \)

 \( y\left( \frac{2m+9}{3} \right)=-m\frac{{{\left( 2m+9 \right)}^{2}}}{27}-2 \)

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow y(1).y\left( \frac{2m+9}{3} \right)<0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( m+2 \right).\left[ -m.\frac{{{\left( 2m+9 \right)}^{2}}}{27}-2 \right]<0 \) \( \Leftrightarrow \left( m+2 \right).\left( 4{{m}^{3}}+36{{m}^{2}}+81+54 \right)>0\Leftrightarrow\) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>-2 \\ m<-6 \end{array}\right. \\ m\ne -\frac{3}{2} \end{cases} \)  (2)

Từ (1), (2) ta có yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>-2 \\ m<-6 \end{array}\right. \\ m\ne -\frac{3}{2} \end{cases} \)