Cho hàm số y=x^3−6mx+4 có đồ thị (Cm). Gọi mO là giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của (Cm) cắt đường tròn tâm I(1;0), bán kính √2 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6m  \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2m  \)

Hàm số có cực đại, cực tiểu  \( \Leftrightarrow {y}’=0 \) có hai nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow m>0 \)

Gọi  \( A\left( \sqrt{2m};4-4m\sqrt{2m} \right) \) và  \( B\left( -\sqrt{2m};4+4m\sqrt{2m} \right) \).

Phương trình đường thẳng AB:  \( 4mx+y-4=0 \)

Đặt  \( a={{d}_{\left( I,AB \right)}}\left( 0<a<\sqrt{2} \right)\Rightarrow HB=\sqrt{2-{{a}^{2}}} \)

Suy ra:  \( {{S}_{\Delta IAB}}=a\sqrt{2-{{a}^{2}}}\le \frac{1}{2}\left( {{a}^{2}}+2-{{a}^{2}} \right)=1 \)

Dấu “=” xảy ra  \( \Leftrightarrow a=\sqrt{2-{{a}^{2}}}\Leftrightarrow a=1 \)

Khi đó:  \( {{d}_{\left( I,AB \right)}}=\frac{\left| 4m+0-4 \right|}{\sqrt{16{{m}^{2}}+1}}\Leftrightarrow \sqrt{16{{m}^{2}}+1}=4\left| m-1 \right| \)

 \( \Leftrightarrow 16{{m}^{2}}+1=16{{m}^{2}}-32m+16\Leftrightarrow m=\frac{15}{32} \)