Cho hàm số y=x^3−3mx^2+2m. Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2m=0 \) (*)

Phương trình  \( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0 \) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng  \( \xrightarrow{{}} \) phương trình có một nghiệm  \( {{x}_{0}}=-\frac{b}{3a} \).

Suy ra phương trình (*) có một nghiệm x = m.

Thay x = m vào phương trình (*), ta được:  \( {{m}^{3}}-3m.{{m}^{2}}+2m=0 \)

\( \Leftrightarrow -2{{m}^{3}}+2m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=\pm 1 \\ & m=0 \\ \end{align} \right. \)

Thử lại:

+ Với m = 1, ta được: \( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1-\sqrt{3} \\  & x=1 \\ & x=1+\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)

Do đó, m = 1 thỏa mãn.

+ Với  \( m=-1 \), ta được: \( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1+\sqrt{3} \\  & x=-1 \\  & x=-1-\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)

Do đó  \( m=-1 \) thỏa mãn.

+ Với m = 0, ta được:  \( {{x}^{3}}=0\Leftrightarrow x=0 \).

Do đó, m = 0 không thỏa mãn.

Vậy  \( m=\pm 1 \) là hai giá trị cần tìm.