Cho hàm số y=(x2+1−−−−−√−x)3−m(2×2−2xx2+1−−−−−√+1)−m−6×2+1√+x−1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên R

Hướng dẫn giải: 

Đáp án D.

Biến đổi hàm số về:  \( y={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}^{3}}-m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-(m-6)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-1 \)

Đặt  \( t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x=f(x) \)

Ta có:  \( {f}'(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1=\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}<\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{x-\left| x \right|}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số  \( t=f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \) nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \).

Suy ra t > 0.

Nên yêu cầu bài toán sẽ thay đổi nghịch biến \( \to \)  đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành: “Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số  \( y={{t}^{3}}-m{{t}^{2}}-(m-6)t-1 \) đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty  \right) \)”.

Khi đó, bài toán tương đương: \( {y}’=3{{t}^{2}}-2mt-m+6\ge 0,\forall t\in \left( 0;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow m(2t+1)\le 3{{t}^{2}}+6,\forall t\in \left( 0;+\infty  \right) \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{3{{t}^{2}}+6}{2t+1}=g(t),\forall t\in \left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow m\le \underset{t\in \left( 0;+\infty  \right)}{\mathop \min g(t)}\, \) (*)

Ta có:  \( {g}'(t)=\frac{6{{t}^{2}}+6t-12}{{{(2t+1)}^{2}}} \)

 \( {g}'(t)=0\overset{t>0}{\longleftrightarrow}t=1 \)

Từ bảng biến thiên, ta có: (*)\( \Leftrightarrow m\le g(1)=3\xrightarrow{m\in \mathbb{N}^{*} }m\in \left\{ 1;2;3 \right\} \).

Chú ý: Ở bài toán này bước đầu ta đã biến đổi \(\frac{m}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}=\frac{m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}=m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)\).