Cho hàm số \( y={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}^{3}}-m\left( 2{{x}^{2}}-2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)-\frac{m-6}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}-1 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên R?
A. 5
B. vô số
C. 2
D. 3
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Biến đổi hàm số về: \( y={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}^{3}}-m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-(m-6)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-1 \)
Đặt \( t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x=f(x) \)
Ta có: \( {f}'(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1=\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}<\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{x-\left| x \right|}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \).
Bảng biến thiên:
Suy ra hàm số \( t=f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \).
Suy ra t > 0.
Nên yêu cầu bài toán sẽ thay đổi nghịch biến \( \to \) đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành: “Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \( y={{t}^{3}}-m{{t}^{2}}-(m-6)t-1 \) đồng biến trên khoảng \( \left( 0;+\infty \right) \)”.
Khi đó, bài toán tương đương: \( {y}’=3{{t}^{2}}-2mt-m+6\ge 0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right) \)
\( \Leftrightarrow m(2t+1)\le 3{{t}^{2}}+6,\forall t\in \left( 0;+\infty \right) \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{3{{t}^{2}}+6}{2t+1}=g(t),\forall t\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{t\in \left( 0;+\infty \right)}{\mathop \min g(t)}\, \) (*)
Ta có: \( {g}'(t)=\frac{6{{t}^{2}}+6t-12}{{{(2t+1)}^{2}}} \)
\( {g}'(t)=0\overset{t>0}{\longleftrightarrow}t=1 \)
Từ bảng biến thiên, ta có: (*)\( \Leftrightarrow m\le g(1)=3\xrightarrow{m\in \mathbb{N}^{*} }m\in \left\{ 1;2;3 \right\} \).
Chú ý: Ở bài toán này bước đầu ta đã biến đổi \(\frac{m}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}=\frac{m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}=m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)\).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!