Cho hàm số y=x/(x−1) (C) và đường thẳng d:y=−x+m. Gọi S là tập các số thực m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB (O là gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2√2

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét phương trình  \( \frac{x}{x-1}=-x+m  \), (điều kiện  \( x\ne 1 \)).

Phương trình tương đương  \( {{x}^{2}}-mx+m=0 \) (1).

Đồ thị (C) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  \( x\ne 1 \) điều kiện cần và đủ là  \( m<0\vee m>4 \).

Khi đó, hai giao điểm là  \( A\left( {{x}_{1}};-{{x}_{1}}+m \right) \);  \( B\left( {{x}_{2}};-{{x}_{2}}+m \right) \).

Ta có:  \( OA=\sqrt{{{m}^{2}}-2m} \);  \( OB=\sqrt{{{m}^{2}}-2m} \);  \( AB=\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-4m \right)} \);  \( {{d}_{\left( O,d \right)}}=\frac{\left| m \right|}{\sqrt{2}} \).

 \( {{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}.AB.{{d}_{\left( O,d \right)}}=\frac{1}{2}.\frac{\left| m \right|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-4m \right)}=\frac{OA.OB.AB}{4R} \)

 \( \Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{\left| m \right|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-4m \right)}=\frac{\left( {{m}^{2}}-2m \right).\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-4m \right)}}{4.2\sqrt{2}} \)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m=4\left| m \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0\text{ }(l) \\  & m=6\text{ }(n) \\  & m=-2\text{ }(n) \\ \end{align} \right.\)

Vậy tổng các phần tử của S bằng 4.