Cho hàm số y=mx^4+(2m+1)x^2+1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có đúng một điểm cực tiểu

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Với m = 0, ta có  \( y={{x}^{2}}+1\Rightarrow {y}’=2x  \)

Khi đó hàm số có 1 cực trị và cực trị đó là cực tiểu.

Suy ra m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán    (1)

Với  \( m\ne 0 \), ta có:  \( {y}’=4m{{x}^{3}}+2\left( 2m+1 \right)x=2x\left( 2m{{x}^{2}}+2m+1 \right) \)

Hàm số có một cực trị là cực tiểu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>0 \\  & 2m{{x}^{2}}+2m+1=0\text{ (vô nghiệm)} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\  & \frac{-2m-1}{2m}<0 \\ \end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>0 \\ \left [ \begin{matrix} m<-\frac{1}{2} \\ m>0 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>0\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số có một cực trị là cực tiểu khi  \( m\ge 0 \)