Cho hàm số y=f(x)=2022x−2022−x+x+sinx. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(x+3)+f(x3−4x+m)=0 có ba nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Xét hàm số  \( y=f(x)={{2022}^{x}}-{{2022}^{-x}}+x+\sin x \)

 \( \Rightarrow {f}'(x)={{2022}^{x}}\ln 2022+{{2022}^{-x}}\ln 2022+1+\cos x>0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Suy ra  \( f(x) \) đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Ta có  \( f(-x)={{2022}^{-x}}-{{2022}^{x}}-x-\sin x=-({{2022}^{x}}-{{2022}^{-x}}+x+\sin x)=-f(x) \).

Xét phương trình  \( f(x+3)+f({{x}^{3}}-4x+m)=0\Leftrightarrow f({{x}^{3}}-4x+m)=-f(x+3)=f(-x-3) \).

Vì f(x) đồng biến nên \(f({{x}^{3}}-4x+m)=f(-x-3)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4x+m=-x-3\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+3=-m\) (1)

Yêu cầu bài toán phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt.

Xét hàm số  \( f(x)={{x}^{3}}-3x+3 \), ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:  \( 1<-m<5\Leftrightarrow -5<m<-1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=-4 \\  & m=-3 \\  & m=-2 \\ \end{align} \right. \).

Vậy có 3 giá trị nguyên của m.