Cho hàm số \( y=f(x) \) thỏa mãn  \( f(x)0 \) và có đạo hàm  \( {f}'(x) \) liên tục trên khoảng  \( \left( 0;+\infty  \right) \) thỏa mãn  \( {f}'(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x),\text{ }\forall x>0 \) và  \( f(1)=-\frac{1}{2} \). Giá trị của biểu thức  \( f(1)+f(2)+…+f(2020) \) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {f}'(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x)\Leftrightarrow \frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=2x+1 \)

 \( \Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}dx}=\int{(2x+1)dx}\Rightarrow -\frac{1}{f(x)}={{x}^{2}}+x+C  \).

Mà  \( f(1)=-\frac{1}{2}\Rightarrow C=0\Rightarrow f(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}+x}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x} \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & f(1)=\frac{1}{2}-1 \\  & f(2)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \\  & f(3)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3} \\  & …. \\  & f(2020)=\frac{1}{2021}-\frac{1}{2020} \\ \end{align} \right.\Rightarrow f(1)+f(2)+…+f(2020)=-1+\frac{1}{2021}=\frac{2020}{2021} \).