Cho hàm số \( y=f(x) \) thỏa mãn \( f(x)<0,\text{ }\forall x>0 \) và có đạo hàm \( {f}'(x) \) liên tục trên khoảng \( \left( 0;+\infty \right) \) thỏa mãn \( {f}'(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x),\text{ }\forall x>0 \) và \( f(1)=-\frac{1}{2} \). Giá trị của biểu thức \( f(1)+f(2)+…+f(2020) \) bằng
A. \( -\frac{2020}{2021} \)
B. \( -\frac{2015}{2019} \)
C. \( -\frac{2019}{2020} \)
D. \( -\frac{2016}{2021} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( {f}'(x)=(2x+1){{f}^{2}}(x)\Leftrightarrow \frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=2x+1 \)
\( \Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}dx}=\int{(2x+1)dx}\Rightarrow -\frac{1}{f(x)}={{x}^{2}}+x+C \).
Mà \( f(1)=-\frac{1}{2}\Rightarrow C=0\Rightarrow f(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}+x}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x} \).
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & f(1)=\frac{1}{2}-1 \\ & f(2)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \\ & f(3)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3} \\ & …. \\ & f(2020)=\frac{1}{2021}-\frac{1}{2020} \\ \end{align} \right.\Rightarrow f(1)+f(2)+…+f(2020)=-1+\frac{1}{2021}=\frac{2020}{2021} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!