Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn f′(x)=(x+1)e^x, f(0)=0 và ∫f(x)dx=(ax+b)e^x+C với a,b,C là các hằng số

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Theo đề:  \( {f}'(x)=(x+1){{e}^{x}} \). Nguyên hàm 2 vế ta được:

\(\int{{f}'(x)dx}=\int{(x+1){{e}^{x}}dx}\Leftrightarrow f(x)=(x+1){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}\)

  \( \Rightarrow f(x)=(x+1){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=x{{e}^{x}}+C  \)

Mà  \( f(0)=0\Rightarrow 0.{{e}^{0}}+C=0\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f(x)=x{{e}^{x}} \)

 \( \Rightarrow \int{f(x)dx}=\int{x{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x-1){{e}^{x}}+C  \)

Suy ra:  \( \left\{ \begin{align} & a=1 \\ & b=-1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a+b=0 \).