Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên  \( \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0 \right\} \) thỏa mãn  \( f(1)=2\ln 2+1 \),  \( x(x+1){f}'(x)+(x+2)f(x)=x(x+1),\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0 \right\} \). Biết  \( f(2)=a+b\ln 3 \), với a, b là hai số hữu tỉ. Tính  \( T={{a}^{2}}-b \) .

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( x(x+1){f}'(x)+(x+2)f(x)=x(x+1)\Leftrightarrow {f}'(x)+\frac{x+2}{x(x+1)}f(x)=1 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{x+1}{f}'(x)+\frac{x(x+2)}{{{(x+1)}^{2}}}f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{x+1}\Leftrightarrow {{\left[ \frac{{{x}^{2}}}{x+1}f(x) \right]}^{\prime }}=\frac{{{x}^{2}}}{x+1} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{x+1}f(x)=\int{\frac{{{x}^{2}}}{x+1}dx}\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{x+1}f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+C  \)

 \( \Leftrightarrow f(x)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+C \right) \).

Ta có:  \( f(1)=2\ln 2+1\Leftrightarrow C=1 \).

Từ đó:  \( f(x)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+1 \right), f(2)=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=\frac{3}{4} \\  & b=\frac{3}{4} \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( T={{a}^{2}}-b=-\frac{3}{16} \) .