Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0 \right\} \) thỏa mãn \( f(1)=2\ln 2+1 \), \( x(x+1){f}'(x)+(x+2)f(x)=x(x+1),\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0 \right\} \). Biết \( f(2)=a+b\ln 3 \), với a, b là hai số hữu tỉ. Tính \( T={{a}^{2}}-b \) .
A. \( T=-\frac{3}{16} \)
B. \( T=\frac{21}{16} \)
C. \( T=\frac{3}{2} \)
D. \( T=0 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( x(x+1){f}'(x)+(x+2)f(x)=x(x+1)\Leftrightarrow {f}'(x)+\frac{x+2}{x(x+1)}f(x)=1 \)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{x+1}{f}'(x)+\frac{x(x+2)}{{{(x+1)}^{2}}}f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{x+1}\Leftrightarrow {{\left[ \frac{{{x}^{2}}}{x+1}f(x) \right]}^{\prime }}=\frac{{{x}^{2}}}{x+1} \)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{x+1}f(x)=\int{\frac{{{x}^{2}}}{x+1}dx}\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{x+1}f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+C \)
\( \Leftrightarrow f(x)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+C \right) \).
Ta có: \( f(1)=2\ln 2+1\Leftrightarrow C=1 \).
Từ đó: \( f(x)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-x+\ln \left| x+1 \right|+1 \right), f(2)=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=\frac{3}{4} \\ & b=\frac{3}{4} \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( T={{a}^{2}}-b=-\frac{3}{16} \) .
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!