Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên  \( \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0 \right\} \) thỏa mãn điều kiện:  \( f(1)=-2\ln 2 \) và  \( x(x+1){f}'(x)+f(x)={{x}^{2}}+x  \). Biết  \( f(2)=a+b\ln 3\text{ }(a,b\in \mathbb{Q}) \). Giá trị của  \( 2({{a}^{2}}+{{b}^{2}}) \) là:

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Chia cả hai vế của biểu thức  \( x(x+1){f}'(x)+f(x)={{x}^{2}}+x  \) cho  \( {{(x+1)}^{2}} \) ta có:

 \( \frac{x}{x+1}{f}'(x)+\frac{1}{{{(x+1)}^{2}}}f(x)=\frac{x}{x+1}\Leftrightarrow {{\left[ \frac{x}{x+1}.f(x) \right]}^{\prime }}=\frac{x}{x+1} \).

Vậy  \( \frac{x}{x+1}f(x)=\int{{{\left[ \frac{x}{x+1}.f(x) \right]}^{\prime }}dx}=\int{\frac{x}{x+1}dx}=\int{\left( 1-\frac{1}{x+1} \right)dx}=x-\ln \left| x+1 \right|+C  \).

Do  \( f(1)=-2\ln 2 \) nên ta có  \( \frac{1}{2}f(1)=1-\ln 2+C\Leftrightarrow -\ln 2=1-\ln 2+C\Leftrightarrow C=-1 \).

Khi đó:  \( f(x)=\frac{x+1}{x}\left( x-\ln \left| x+1 \right|-1 \right) \).

Vậy ta có:  \( f(2)=\frac{3}{2}(2-\ln 3-1)=\frac{3}{2}(1-\ln 3)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\ln 3\Rightarrow a=\frac{3}{2},\text{ }b=-\frac{3}{2} \).

Suy ra:  \( 2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})=2\left[ {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{3}{2} \right)}^{2}} \right]=9 \).