Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên  \( \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0 \right\} \) thỏa mãn điều kiện:  \( f(1)=-2\ln 2 \) và  \( x(x+1){f}'(x)+f(x)={{x}^{2}}+x  \). Biết  \( f(2)=a+b\ln 3\text{ }(a,b\in \mathbb{Q}) \). Giá trị của  \( 2({{a}^{2}}+{{b}^{2}}) \) là:

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên  \( \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;0 \right\} \) thỏa mãn điều kiện:  \( f(1)=-2\ln 2 \) và  \( x(x+1){f}'(x)+f(x)={{x}^{2}}+x  \). Biết  \( f(2)=a+b\ln 3\text{ }(a,b\in \mathbb{Q}) \). Giá trị của  \( 2({{a}^{2}}+{{b}^{2}}) \) là:

A. \( \frac{27}{4} \)

B. 9             

C.  \( \frac{3}{4} \)                                       

D.  \( \frac{9}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Chia cả hai vế của biểu thức  \( x(x+1){f}'(x)+f(x)={{x}^{2}}+x  \) cho  \( {{(x+1)}^{2}} \) ta có:

 \( \frac{x}{x+1}{f}'(x)+\frac{1}{{{(x+1)}^{2}}}f(x)=\frac{x}{x+1}\Leftrightarrow {{\left[ \frac{x}{x+1}.f(x) \right]}^{\prime }}=\frac{x}{x+1} \).

Vậy  \( \frac{x}{x+1}f(x)=\int{{{\left[ \frac{x}{x+1}.f(x) \right]}^{\prime }}dx}=\int{\frac{x}{x+1}dx}=\int{\left( 1-\frac{1}{x+1} \right)dx}=x-\ln \left| x+1 \right|+C  \).

Do  \( f(1)=-2\ln 2 \) nên ta có  \( \frac{1}{2}f(1)=1-\ln 2+C\Leftrightarrow -\ln 2=1-\ln 2+C\Leftrightarrow C=-1 \).

Khi đó:  \( f(x)=\frac{x+1}{x}\left( x-\ln \left| x+1 \right|-1 \right) \).

Vậy ta có:  \( f(2)=\frac{3}{2}(2-\ln 3-1)=\frac{3}{2}(1-\ln 3)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\ln 3\Rightarrow a=\frac{3}{2},\text{ }b=-\frac{3}{2} \).

Suy ra:  \( 2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})=2\left[ {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{3}{2} \right)}^{2}} \right]=9 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *