Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên \(\left( 0;+\infty  \right)\)thỏa mãn \(2x{f}'(x)+f(x)=3{{x}^{2}}\sqrt{x}\). Biết \(f(1)=\frac{1}{2}\). Tính \(f(4)\)?

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Trên khoảng  \( \left( 0;+\infty  \right) \), ta có: \(2x{f}'(x)+f(x)=3{{x}^{2}}\sqrt{x}\Leftrightarrow\sqrt{x}{f}'(x)+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2}{{x}^{2}}\)

 \( \Rightarrow {{\left[ \sqrt{x}.f(x) \right]}^{\prime }}=\frac{3}{2}{{x}^{2}}\Rightarrow \int{{{\left[ \sqrt{x}.f(x) \right]}^{\prime }}dx}=\int{\frac{3}{2}{{x}^{2}}dx}\Rightarrow \sqrt{x}.f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{3}}+C  \)  (*)

Mà  \( f(1)=\frac{1}{2} \) nên từ (*) có:  \( \sqrt{1}.f(1)=\frac{1}{2}{{.1}^{3}}+C\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+C\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f(x)=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{x}}{2} \).

Vậy  \( f(4)=\frac{{{4}^{2}}\sqrt{4}}{2}=16 \).