Cho hàm số \( y=f(x) \) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  \( \mathbb{R} \) thỏa mãn \({{\left[ f(x) \right]}^{\prime }}=f(x).{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}\) và  \( f(0) \). Khi đó  \( f(2) \) thuộc khoảng nào sau đây?

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Vì hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  \( \mathbb{R} \) đồng thời  \( f(0)=2 \) nên  \( {f}'(x)\ge 0 \) và  \( f(x)>0 \) với mọi  \( x\in \left[ 0;+\infty  \right) \).

Từ giả thiết  \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}=f(x).{{e}^{x}},\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) suy ra  \( {f}'(x)=\sqrt{f(x)}.{{e}^{\frac{x}{2}}},\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty  \right) \).

Do đó:  \( \frac{{f}'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=\frac{1}{2}{{e}^{\frac{x}{2}}},\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty  \right) \).

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:  \( \sqrt{f(x)}={{e}^{\frac{x}{2}}}+C,\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty  \right) \) với C là hằng số nào đó.

Kết hợp với  \( f(0)=2 \), ta được  \( C=\sqrt{2}-1 \).

Từ đó, tính được  \( f(2)={{\left( e+\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}\approx 9,81 \).