Cho hàm số \( y=f(x) \) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  \( \mathbb{R} \) thỏa mãn \({{\left[ f(x) \right]}^{\prime }}=f(x).{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}\) và  \( f(0) \). Khi đó  \( f(2) \) thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hàm số \( y=f(x) \) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  \( \mathbb{R} \) thỏa mãn \({{\left[ f(x) \right]}^{\prime }}=f(x).{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}\) và  \( f(0) \). Khi đó  \( f(2) \) thuộc khoảng nào sau đây?

A. (12;13)

B. (9;10)

C. (11;12)                        

D. (13;14).

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Vì hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  \( \mathbb{R} \) đồng thời  \( f(0)=2 \) nên  \( {f}'(x)\ge 0 \) và  \( f(x)>0 \) với mọi  \( x\in \left[ 0;+\infty  \right) \).

Từ giả thiết  \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}=f(x).{{e}^{x}},\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) suy ra  \( {f}'(x)=\sqrt{f(x)}.{{e}^{\frac{x}{2}}},\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty  \right) \).

Do đó:  \( \frac{{f}'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=\frac{1}{2}{{e}^{\frac{x}{2}}},\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty  \right) \).

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:  \( \sqrt{f(x)}={{e}^{\frac{x}{2}}}+C,\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty  \right) \) với C là hằng số nào đó.

Kết hợp với  \( f(0)=2 \), ta được  \( C=\sqrt{2}-1 \).

Từ đó, tính được  \( f(2)={{\left( e+\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}\approx 9,81 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

 

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *