Cho hàm số \( y=f(x) \) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn \({{\left[ f(x) \right]}^{\prime }}=f(x).{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}\) và \( f(0) \). Khi đó \( f(2) \) thuộc khoảng nào sau đây?
A. (12;13)
B. (9;10)
C. (11;12)
D. (13;14).
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Vì hàm số \( y=f(x) \) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) đồng thời \( f(0)=2 \) nên \( {f}'(x)\ge 0 \) và \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \left[ 0;+\infty \right) \).
Từ giả thiết \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}=f(x).{{e}^{x}},\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) suy ra \( {f}'(x)=\sqrt{f(x)}.{{e}^{\frac{x}{2}}},\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty \right) \).
Do đó: \( \frac{{f}'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=\frac{1}{2}{{e}^{\frac{x}{2}}},\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty \right) \).
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: \( \sqrt{f(x)}={{e}^{\frac{x}{2}}}+C,\text{ }\forall x\in \left[ 0;+\infty \right) \) với C là hằng số nào đó.
Kết hợp với \( f(0)=2 \), ta được \( C=\sqrt{2}-1 \).
Từ đó, tính được \( f(2)={{\left( e+\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}\approx 9,81 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!