Cho hàm số \( y=f(x) \) đồng biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \);  \( y=f(x) \) liên tục, nhận giá trị dương trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) và thỏa mãn \( f(3)=\frac{4}{9} \) và \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}=(x+1).f(x) \). Tính \( f(8) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có với  \( \forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \) thì  \( y=f(x)>0;\text{ }x+1>0 \).

Hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) nên  \( {f}'(x)\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \).

Do đó:  \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}=(x+1)f(x)\Leftrightarrow {f}'(x)=\sqrt{(x+1)f(x)}\Leftrightarrow \frac{{f}'(x)}{\sqrt{f(x)}}=\sqrt{x+1} \).

Suy ra:  \( \int{\frac{{f}'(x)}{\sqrt{f(x)}}dx}=\int{\sqrt{x+1}dx}\Rightarrow \sqrt{f(x)}=\frac{1}{3}\sqrt{{{(x+1)}^{3}}}+C  \).

Vì  \( f(3)=\frac{4}{9} \) nên  \( C=\frac{2}{3}-\frac{8}{3}=-2 \).

Suy ra:  \( f(x)={{\left( \frac{1}{3}\sqrt{{{(x+1)}^{3}}}-2 \right)}^{2}} \), suy ra  \( f(8)=49 \).