Cho hàm số \( y=f(x) \) đồng biến trên \( \left( 0;+\infty \right) \); \( y=f(x) \) liên tục, nhận giá trị dương trên \( \left( 0;+\infty \right) \) và thỏa mãn \( f(3)=\frac{4}{9} \) và \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}=(x+1).f(x) \). Tính \( f(8) \).
A. \( f(8)=49 \)
B. \( f(8)=256 \)
C. \( f(8)=\frac{1}{16} \)
D. \( f(8)=\frac{49}{64} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có với \( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \) thì \( y=f(x)>0;\text{ }x+1>0 \).
Hàm số \( y=f(x) \) đồng biến trên \( \left( 0;+\infty \right) \) nên \( {f}'(x)\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \).
Do đó: \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}=(x+1)f(x)\Leftrightarrow {f}'(x)=\sqrt{(x+1)f(x)}\Leftrightarrow \frac{{f}'(x)}{\sqrt{f(x)}}=\sqrt{x+1} \).
Suy ra: \( \int{\frac{{f}'(x)}{\sqrt{f(x)}}dx}=\int{\sqrt{x+1}dx}\Rightarrow \sqrt{f(x)}=\frac{1}{3}\sqrt{{{(x+1)}^{3}}}+C \).
Vì \( f(3)=\frac{4}{9} \) nên \( C=\frac{2}{3}-\frac{8}{3}=-2 \).
Suy ra: \( f(x)={{\left( \frac{1}{3}\sqrt{{{(x+1)}^{3}}}-2 \right)}^{2}} \), suy ra \( f(8)=49 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!