Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 2;4 \right] \) và \( {f}'(x)>0,\forall x\in \left[ 2;4 \right] \). Biết \( 4{{x}^{3}}f(x)={{\left[ {f}'(x) \right]}^{3}}-{{x}^{3}},\text{ }\forall x\in \left[ 2;4 \right] \), \( f(2)=\frac{7}{4} \). Giá trị của \( f(4) \) bằng
A. \( \frac{40\sqrt{5}-1}{2} \)
B. \( \frac{20\sqrt{5}-1}{4} \)
C. \( \frac{20\sqrt{5}-1}{2} \)
D. \( \frac{40\sqrt{5}-1}{4} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Ta có: \( {f}'(x)>0,\text{ }\forall x\in \left[ 2;4 \right] \) nên hàm số \( y=f(x) \) đồng biến trên \( \left[ 2;4 \right]\Rightarrow f(x)\ge f(2) \) mà \( f(2)=\frac{7}{4} \).
Do đó: \( f(x)>0,\forall x\in \left[ 2;4 \right] \).
Từ giả thiết ta có: \( 4{{x}^{3}}f(x)={{\left[ {f}'(x) \right]}^{3}}-{{x}^{3}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 4f(x)+1 \right]={{\left[ {f}'(x) \right]}^{3}} \)
\( \Leftrightarrow x.\sqrt[3]{4f(x)+1}={f}'(x)\Leftrightarrow \frac{{f}'(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=x \).
Suy ra: \( \int{\frac{{f}'(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}dx}=\int{xdx}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\int{\frac{d\left( 4f(x)+1 \right)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+C \)
\( \Leftrightarrow \frac{3}{8}\sqrt[3]{{{\left[ 4f(x)+1 \right]}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+C \).
\( f(2)=\frac{7}{4}\Leftrightarrow \frac{3}{2}=2+C\Leftrightarrow C=-\frac{1}{2} \).
Vậy: \( f(x)=\frac{\sqrt{{{\left[ \frac{4}{3}({{x}^{2}}-1) \right]}^{3}}}-1}{4}\Rightarrow f(4)=\frac{40\sqrt{5}-1}{4} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!