Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 0;1 \right] \), thỏa mãn \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}+4,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \) và \( f(1)=2 \). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)

Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên  \( \left[ 0;1 \right] \), thỏa mãn  \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}+4,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \) và  \( f(1)=2 \). Tính  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \).

A. \( \frac{1}{3} \)

B. 2             

C.  \( \frac{4}{3} \)                                       

D.  \( \frac{21}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}+4,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \)

 \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}+4\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(8{{x}^{2}}+4)dx}=\frac{20}{3} \)    (1)

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\Rightarrow -4\int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=-8+4\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)   (2)

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{{{(2x)}^{2}}dx}=\frac{4}{3} \)      (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'(x)-2x \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow {f}'(x)-2x=0\)

\(\Leftrightarrow {f}'(x)=2x\Rightarrow \int{{f}'(x)dx}=\int{2xdx}\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+C\).

Có  \( f(1)=C+1=2\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+1 \).

Do đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}+1)dx}=\frac{4}{3} \).

Các bài toán liên quan

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *