Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 0;1 \right] \), thỏa mãn \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}+4,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \) và \( f(1)=2 \). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}+4,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \)

 \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}+4\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(8{{x}^{2}}+4)dx}=\frac{20}{3} \)    (1)

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\Rightarrow -4\int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=-8+4\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)   (2)

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{{{(2x)}^{2}}dx}=\frac{4}{3} \)      (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'(x)-2x \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow {f}'(x)-2x=0\)

\(\Leftrightarrow {f}'(x)=2x\Rightarrow \int{{f}'(x)dx}=\int{2xdx}\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+C\).

Có  \( f(1)=C+1=2\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+1 \).

Do đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}+1)dx}=\frac{4}{3} \).