Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 0;1 \right] \), thỏa mãn \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}+4,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \) và \( f(1)=2 \). Tính \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \).
A. \( \frac{1}{3} \)
B. 2
C. \( \frac{4}{3} \)
D. \( \frac{21}{4} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta có: \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}+4,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \)
\( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}+4\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(8{{x}^{2}}+4)dx}=\frac{20}{3} \) (1)
+ Xét \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\Rightarrow -4\int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=-8+4\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) (2)
+ Xét \( \int\limits_{0}^{1}{{{(2x)}^{2}}dx}=\frac{4}{3} \) (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'(x)-2x \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow {f}'(x)-2x=0\)
\(\Leftrightarrow {f}'(x)=2x\Rightarrow \int{{f}'(x)dx}=\int{2xdx}\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+C\).
Có \( f(1)=C+1=2\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+1 \).
Do đó: \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}+1)dx}=\frac{4}{3} \).
Các bài toán liên quan
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Các bài toán mới!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!