Cho hàm số y=(3x+2)/(x+2) (C) và đường thẳng d:y=ax+2b−4. Đường thẳng d cắt (C) tại A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, khi đó T=a+b bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét phương trình hoành độ:  \( \frac{3x+2}{x+2}=ax+2b-4,\text{ }x\ne -2 \)

 \( \Leftrightarrow a{{x}^{2}}+\left( 2a+2b-7 \right)x-10=0 \) (*)

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\  & {{\left( 2a+2b-7 \right)}^{2}}-4a\left( 4b-10 \right)>0 \\  & 4\ne 0 \\ \end{align} \right. \) (**)

Gọi  \( A\left( {{x}_{1}};a{{x}_{1}}+2b-4 \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};a{{x}_{2}}+2b-4 \right) \).

Do A, B đối xứng nhau qua gốc O nên  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\  & 4b-8=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\  & b=2 \\ \end{align} \right. \)

Theo Viet của phương trình (*), ta có:  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{7-2a-2b}{a}\Rightarrow \frac{7-2a-2b}{a}=0 \)

 \( \Leftrightarrow 7-2a-2b=0\Rightarrow a=\frac{3}{2} \)

Thay  \( \left\{ \begin{align}  & a=\frac{3}{2} \\  & b=2 \\ \end{align} \right. \) vào điều kiện (**) thấy thỏa mãn.

Vậy  \( a+b=\frac{7}{2} \).