Cho hàm số y=(3x−2m)/(mx+1) với m là tham số. Biết rằng với mọi m≠0, đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng d:y=3x−3m tại hai điểm phân biệt A, B. Tích tất cả các giá trị của m tìm được để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích ΔOAB bằng 2 lần diện tích ΔOCD bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Với  \( m\ne 0 \), xét phương trình  \( \frac{3x-2m}{mx+1}=3x-3m\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3mx-1=0 \) (*)

Gọi tọa độ các giao điểm của d với đồ thị hàm số đã cho là:  \( A\left( {{x}_{1}};3{{x}_{1}}-3m \right) \),  \( B\left( {{x}_{2}};3{{x}_{2}}-3m \right) \).

Tọa độ các điểm C, D là  \( C\left( m;0 \right) \) và  \( D\left( 0;-3m \right) \).

Gọi  \( h={{d}_{\left( O,d \right)}} \) thì h là chiều cao của các tam giác OAB và OCD.

Theo giả thiết:  \( {{S}_{\Delta OAB}}=2{{S}_{\Delta OCD}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.h=2.\frac{1}{2}.CD.h  \)

 \( \Leftrightarrow AB=2CD\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=4C{{D}^{2}} \) \( {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left[ 3\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right]}^{2}}=4\left[ {{m}^{2}}+{{(-3m)}^{2}} \right] \)

 \( \Leftrightarrow 10{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=40{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{m}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}+\frac{4}{3}=4{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow m=\pm \frac{2}{3} \)

Vậy tích các giá trị của m là  \( -\frac{4}{9} \).