Cho hàm số y=2x^3−3(m+1)x^2+6mx+m^3. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB=√2

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có \( : {y}’=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6m  \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\  & x=m \\ \end{align} \right. \)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì  \( m\ne 1 \)

Khi đó, ta có  \( A\left( 1;{{m}^{3}}+3m-1 \right) \),  \( B\left( m;3{{m}^{2}} \right) \).

Có  \( AB=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+3m-1 \right)}^{2}}=2 \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{6}}=2\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}=1 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=0 \\  & m=2 \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn yêu cầu bài toán)