Cho hàm số y=1/3x^3−12mx^2−4x−10, với m là tham số, gọi x1, x2 là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=(x^21−1)(x^22−1) bằng

Cho hàm số \( y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}m{{x}^{2}}-4x-10 \), với m là tham số, gọi x1, x2 là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức  \( P=\left( x_{1}^{2}-1 \right)\left( x_{2}^{2}-1 \right) \) bằng

A. 4

B. 1

C. 0                                   

D. 9

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Tập xác định  \( D=\mathbb{R} \).

Đạo hàm:  \( {y}’={{x}^{2}}-mx-4 \)

Khi đó:  \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-4=0 \)

Ta có:  \( \Delta ={{m}^{2}}+16>0,\forall m\in \mathbb{R}\Rightarrow {y}’=0 \) luôn có 2 nghiệm phân biệt  \( \forall m\in \mathbb{R} \) hay hàm số luôn có hai điểm cực trị x1, x\( \forall m\in \mathbb{R} \).

Do x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của y’ = 0 nên định lí Viet ta có:  \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4 \\ \end{align} \right. \)

 \( P=\left( x_{1}^{2}-1 \right)\left( x_{2}^{2}-1 \right)={{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+1 \) \( ={{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1=16-{{m}^{2}}-8+1=-{{m}^{2}}+9\le 9 \)

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức P = 9 khi m = 0.

 

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *