Cho hàm số y=1/3(m^2+2m)x^3−(m^2+2m)x^2+mx−3. Tất cả các giá trị thực của tham số m

Hướng dẫn giải:

 Đáp án D.

Xét \( {{m}^{2}}+2m=0\Leftrightarrow m=0\vee m=-2 \).

+ Với m = 0 hàm số có dạng: y = -3 không nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), suy ra m = 0 loại.

+ Với  \(m=-2 \) hàm số có dạng:  \( y=-2x-3 \) luôn nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \), suy ra  \( m=-2 \) thỏa mãn (1)

Xét \( {{m}^{2}}+2m\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\ne 0 \\& m\ne -2 \\\end{align} \right. \)

Yêu cầu bài toán tương đương:  \( {y}’=({{m}^{2}}+2m){{x}^{2}}-2({{m}^{2}}+2m)x+m\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a={{m}^{2}}+2m<0 \\& \Delta ‘={{({{m}^{2}}+2m)}^{2}}-m({{m}^{2}}+2m)\le 0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}+2m<0 \\& {{m}^{2}}+m\ge 0 \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2 < m <0 \\ \left [ \begin{matrix} m\le -1 \\ m\ge 0 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow -2 < m\le -1 \) (2)

Từ (1) và (2), suy ra  \( m\in \left[ -2;-1 \right] \)