Cho hàm số y=(1−msinx)/(cosx+2). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;10] để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn −2

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Ta có:  \( y=\frac{1-m\sin x}{\cos x+2} \)  \( \Leftrightarrow y\cos x+m\sin x=1-2y  \)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:  \( {{y}^{2}}+{{m}^{2}}\ge 1-4y+4{{y}^{2}} \)  \( \Leftrightarrow 3{{y}^{2}}-4y+1-{{m}^{2}}\le 0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3}\le y\le \frac{2+\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3} \)

Theo đề bài, ta có: \( \left\{ \begin{align} & \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{min }}\,y=\frac{2-\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3}<-2 \\  & m\in \left[ 0;10 \right] \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \sqrt{1+3{{m}^{2}}}>8 \\  & m\in \left[ 0;10 \right] \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3{{m}^{2}}>63 \\  & m\in \left[ 0;10 \right] \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}>21 \\  & m\in \left[ 0;10 \right] \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow m\in \left\{ 5;6;7;8;9;10 \right\} \)

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.