Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình bên. Đặt g(x)=2f(x)−(x+1)^2. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có  \( {g}'(x)=2{f}'(x)-2(x+1) \)

 \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow {f}'(x)=x+1 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\  & x=\pm 3 \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Suy ra:  \( g(-3)<g(1) \) và  \( g(3)<g(1) \)  (1)

Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:  \( y={f}'(x),y=x+1,x=-3,x=1 \).

Gọi S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:  \( y=x+1,y={f}'(x),x=1,x=3 \).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:  \( {{S}_{1}}>{{S}_{2}}>0 \).

Suy ra:  \( {{S}_{1}}-{{S}_{2}}>0 \) \( \Rightarrow \int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'(x)-(x+1) \right]dx}-\int\limits_{1}^{3}{\left[ (x+1)-{f}'(x) \right]dx}>0 \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'(x)-(x+1) \right]dx}+\int\limits_{1}^{3}{\left[ {f}'(x)-(x+1) \right]dx}>0 \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{3}{\left[ {f}'(x)-(x+1) \right]dx}>0 \)

Khi đó:  \( g(3)-g(-3)=\int\limits_{-3}^{3}{{g}'(x)dx}=2\int\limits_{-3}^{3}{\left[ {f}'(x)-(x+1) \right]dx}>0 \)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \( g(1)>g(3)>g(-3) \).