Cho hàm số y=∣x^4−2mx^2+2m−1∣ với m là tham số thực. Số giá trị nguyên trong khoảng [−2;2] của m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

 Đáp án B.

Đặt  \( f(x)={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m-1; {f}'(x)=4{{x}^{3}}-4mx  \)

\( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=m \\ \end{align} \right. \)

+ Trường hợp 1: Hàm số có một cực trị  \( \Rightarrow m\in \left[ -2;0 \right] \).

Đồ thị hàm số y = f(x) có một điểm cực trị là  \( A(0;2m-1) \).

Do  \( m\in \left[ -2;0 \right]\Rightarrow {{y}_{A}}=2m-1<0 \) nên đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên hàm số  \( y=\left| f(x) \right| \) có 3 cực trị  \( \Rightarrow  \) có 3 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2: Hàm số có 3 cực trị  \( \Rightarrow m\in \left( 0;2 \right] \)

Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là  \( A\left( 0;2m-1 \right) \),  \( B\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}+2m-1 \right) \) ,  \( C\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}}+2m-1 \right) \)

Do  \( a=1>0 \) nên hàm số  \( y=\left| f(x) \right| \) có 3 điểm cực trị khi hàm số y = f(x) có \({{y}_{B}}={{y}_{C}}\ge 0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m-1\ge 0\Leftrightarrow m=1\).

Nếu \({{y}_{B}}={{y}_{C}}<0\) (trong bài toán này không xảy ra) thì hàm số có ít nhất 5 điểm cực trị.

Vậy có 4 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.