Cho hàm số y=−x^3+3mx^2−3m−1 với m là một tham số thực. Giá trị của m thuộc tập hợp nào sau đây để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d: x+8y−74=0

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

\({y}’=-3{{x}^{2}}+6mx\)

\({y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2m \\ \end{align} \right.\)

Đồ thị có hai cực trị khi  \( m\ne 0 \)

Khi đó hai điểm cực trị là:  \( A\left( 0;-3m-1 \right) \),  \( B\left( 2m;4{{m}^{3}}-3m-1 \right) \)

Tọa độ trung điểm AB là:  \( I\left( m;2{{m}^{3}}-3m-1 \right) \)

A và B đối xứng qua d khi và chỉ khi:  \( \left\{ \begin{align}  & I\in d \\  & \overrightarrow{AB}.{{{\vec{u}}}_{d}}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \overrightarrow{AB}=\left( 2m;4{{m}^{3}} \right) \),  \( {{\vec{u}}_{d}}=\left( 8;-1 \right) \)

+  \( \overrightarrow{AB}.{{\vec{u}}_{d}}=0\Leftrightarrow 16m-4{{m}^{3}}=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m=2 \\  & m=-2 \\ \end{align} \right. \)

Với m = 0 loại.

Với m = 2, ta có I(2;9)  \( \Rightarrow I\in d  \)

Với  \( m=-2 \), ta có  \( I\left( -2;-11 \right)\Rightarrow I\notin d  \)

Do đó m = 2 thỏa mãn yêu cầu.