Cho hàm số \( y=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-3m-1 \) với m là một tham số thực. Giá trị của m thuộc tập hợp nào sau đây để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d: \( x+8y-74=0 \).
A. \( m\in \left( -1;1 \right] \)
B. \( m\in \left( -3;-1 \right] \)
C. \( m\in \left( 3;5 \right] \)
D. \( m\in \left( 1;3 \right] \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
\({y}’=-3{{x}^{2}}+6mx\)
\({y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2m \\ \end{align} \right.\)
Đồ thị có hai cực trị khi \( m\ne 0 \)
Khi đó hai điểm cực trị là: \( A\left( 0;-3m-1 \right) \), \( B\left( 2m;4{{m}^{3}}-3m-1 \right) \)
Tọa độ trung điểm AB là: \( I\left( m;2{{m}^{3}}-3m-1 \right) \)
A và B đối xứng qua d khi và chỉ khi: \( \left\{ \begin{align} & I\in d \\ & \overrightarrow{AB}.{{{\vec{u}}}_{d}}=0 \\ \end{align} \right. \)
\( \overrightarrow{AB}=\left( 2m;4{{m}^{3}} \right) \), \( {{\vec{u}}_{d}}=\left( 8;-1 \right) \)
+ \( \overrightarrow{AB}.{{\vec{u}}_{d}}=0\Leftrightarrow 16m-4{{m}^{3}}=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=2 \\ & m=-2 \\ \end{align} \right. \)
Với m = 0 loại.
Với m = 2, ta có I(2;9) \( \Rightarrow I\in d \)
Với \( m=-2 \), ta có \( I\left( -2;-11 \right)\Rightarrow I\notin d \)
Do đó m = 2 thỏa mãn yêu cầu.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!