Cho hàm số f(x)=x4−14×3+36×2+(16−m)x với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số g(x)=f(|x|) có 7 điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Xét hàm số  \( f(x)={{x}^{4}}-14{{x}^{8}}+36{{x}^{2}}+(16-m)x \).

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

 \( {f}'(x)=4{{x}^{3}}-42{{x}^{2}}+72x+16-m \)

Hàm số  \( g(x)=f\left( \left| x \right| \right) \) có 7 điểm cực trị  \( \Leftrightarrow  \) Hàm số f(x) có 3 điểm cực trị dương.

 \( \Leftrightarrow  \) Phương trình  \( {f}'(x)=0 \) có 3 nghiệm dương phân biệt.

Xét phương trình  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-42{{x}^{2}}+72x+16=m \)  (1)

Đặt  \( h(x)=4{{x}^{3}}-42{{x}^{2}}+72x+16\Rightarrow {h}'(x)=12{{x}^{2}}-84x+72\Rightarrow {h}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\ & x=6 \\ \end{align} \right. \).

Ta có bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow (1) \) có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng  \( y=m \) cắt đồ thị hàm số  \( y=h(x) \) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

Dựa vào bảng biến thiên ta có  \( 16<m<50 \).

Vì m là số nguyên nên  \( m\in \{17;18;…;49\} \) nên có 33 số nguyên.